Двоичная система счисления

Коротко

Двоичная система счисления записывает числа только двумя цифрами: 0 и 1. Чтобы не путать системы счисления, в этой главе двоичные числа отмечаются индексом ₂, а десятичные - индексом ₁₀. Например: 1011₂ = 11₁₀.

Зачем это нужно

Человек в повседневной жизни чаще использует десятичную систему счисления с десятью цифрами: от 0 до 9. Цифровой электронике удобно различать два устойчивых состояния, поэтому внутри компьютерной техники числа, команды, символы, звук и изображения представляются последовательностями 0 и 1.

Двоичная запись встречается при изучении:

• памяти и типов данных;
• цифровой электроники;
• сетевых адресов и протоколов;
• прав доступа и флагов;
• микроконтроллеров;
• логических и битовых операций.

Понимание двоичной системы помогает увидеть связь между привычным числом и его представлением внутри цифрового устройства.

Как обозначать систему счисления

Одинаковая последовательность цифр может обозначать разные значения в разных системах счисления.

Запись	Система счисления	Значение в десятичной системе
10₁₀	десятичная	десять
10₂	двоичная	два
101₁₀	десятичная	сто один
101₂	двоичная	пять

В обычном тексте индекс иногда опускают, когда система счисления очевидна. В учебных примерах этой главы индекс указывается явно.

Важно

Запись 1011 без индекса неоднозначна. Запись 1011₂ однозначно означает двоичное число, а 1011₁₀ - десятичное.

Главная идея

В позиционной системе значение цифры зависит от ее места - разряда.

• в десятичной системе веса разрядов равны степеням числа 10;
• в двоичной системе веса разрядов равны степеням числа 2.

десятичные веса: 10⁰ = 1, 10¹ = 10, 10² = 100, 10³ = 1000
двоичные веса:    2⁰ = 1,  2¹ = 2,   2² = 4,   2³ = 8

В таблице исходное значение указано сначала в десятичной системе, затем - в двоичной.

Исходное число, десятичная СС	Двоичная запись	Степени двойки	Разложение
0₁₀	0000₂	нет выбранных степеней	0₁₀
1₁₀	0001₂	2⁰	1₁₀
2₁₀	0010₂	2¹	2₁₀
3₁₀	0011₂	2¹, 2⁰	2₁₀ + 1₁₀
5₁₀	0101₂	2², 2⁰	4₁₀ + 1₁₀
8₁₀	1000₂	2³	8₁₀
11₁₀	1011₂	2³, 2¹, 2⁰	8₁₀ + 2₁₀ + 1₁₀
13₁₀	1101₂	2³, 2², 2⁰	8₁₀ + 4₁₀ + 1₁₀

Разберем число 1011₂ по разрядам.

Позиция	Степень	Вес в десятичной СС	Двоичная цифра	Вклад в результат
четвертая справа	2³	8₁₀	1	8₁₀
третья справа	2²	4₁₀	0	0₁₀
вторая справа	2¹	2₁₀	1	2₁₀
первая справа	2⁰	1₁₀	1	1₁₀

1011₂ = 1 · 8₁₀ + 0 · 4₁₀ + 1 · 2₁₀ + 1 · 1₁₀ = 11₁₀

Перевод из двоичной системы в десятичную

Чтобы перевести двоичное число в десятичное:

1. подпиши веса разрядов справа налево: 1₁₀, 2₁₀, 4₁₀, 8₁₀ и далее;
2. выберите веса, под которыми стоит двоичная цифра 1;
3. сложи выбранные значения.

Пример 1

0110₂ = 0 · 8₁₀ + 1 · 4₁₀ + 1 · 2₁₀ + 0 · 1₁₀ = 6₁₀

Пример 2

1001₂ = 1 · 8₁₀ + 0 · 4₁₀ + 0 · 2₁₀ + 1 · 1₁₀ = 9₁₀

Пример 3

1111₂ = 1 · 8₁₀ + 1 · 4₁₀ + 1 · 2₁₀ + 1 · 1₁₀ = 15₁₀

Перевод из десятичной системы в двоичную

Для небольшого числа удобно разложить его на степени двойки.

Пример: 13₁₀

Используем веса 8₁₀, 4₁₀, 2₁₀, 1₁₀:

13₁₀ = 8₁₀ + 4₁₀ + 1₁₀

Вес в десятичной СС	8₁₀	4₁₀	2₁₀	1₁₀
Степень двойки	2³	2²	2¹	2⁰
Используется?	1	1	0	1

Получается:

13₁₀ = 1101₂

Еще два примера

6₁₀ = 4₁₀ + 2₁₀ = 0110₂
10₁₀ = 8₁₀ + 2₁₀ = 1010₂

Для больших чисел также применяют последовательное деление на 2₁₀, но метод степеней двойки лучше показывает смысл разрядов.

Бит и байт в двоичной записи

Один двоичный разряд называется битом. В каждом бите находится 0 или 1.

Количество различных комбинаций для n бит равно 2ⁿ.

Количество бит	Число комбинаций, десятичная СС	Диапазон без знака, десятичная СС	Двоичный диапазон
1₁₀ бит	2₁₀	от 0₁₀ до 1₁₀	от 0₂ до 1₂
2₁₀ бита	4₁₀	от 0₁₀ до 3₁₀	от 00₂ до 11₂
4₁₀ бита	16₁₀	от 0₁₀ до 15₁₀	от 0000₂ до 1111₂
8₁₀ бит	256₁₀	от 0₁₀ до 255₁₀	от 00000000₂ до 11111111₂

Восемь бит образуют один байт. Максимальное беззнаковое значение одного байта:

11111111₂ = 255₁₀

Значение 255₁₀ часто встречается в учебном программировании как максимальное значение одного байта. Однако диапазоны конкретных функций и устройств всегда нужно проверять по документации.

Что значит «без знака»

Беззнаковый тип использует все комбинации битов для нуля и положительных чисел. Для отрицательных значений нужна другая договоренность о представлении данных.

Двоичные данные в компьютере

Последовательность битов не обязательно используется как число. Например, 01000001₂ можно прочитать как:

• число 65₁₀;
• код латинского символа A в подходящей кодировке;
• восемь отдельных логических признаков;
• часть команды или изображения.

Смысл задается типом и форматом данных. Подробно эта тема рассматривается в главе «Хранение данных в памяти».

Двоичные состояния в роботах

Цифровой датчик может передавать одно из двух логических состояний. В такой таблице 0 и 1 обозначают именно состояния, а не результат счета.

Левый датчик, состояние	Правый датчик, состояние	Возможная реакция программы
0	0	искать линию
0	1	корректировать движение вправо
1	0	корректировать движение влево
1	1	ехать прямо

Конкретный смысл состояний зависит от подключения и программы. Например, у одного датчика 1 может означать «линия обнаружена», а у другого модуля то же событие может обозначаться 0.

Две линии сигналов образуют четыре комбинации. Их можно рассматривать и как двоичные коды:

00₂ = 0₁₀
01₂ = 1₁₀
10₂ = 2₁₀
11₂ = 3₁₀

Что запомнить про двоичную систему

Десятичная система	Двоичная система
использует цифры от 0 до 9	использует цифры 0 и 1
веса разрядов: степени 10	веса разрядов: степени 2
запись 10₁₀ означает десять	запись 10₂ означает два
привычна для повседневного счета	удобна для цифровой техники

Главное правило записи в учебных примерах:

двоичное число: индекс ₂
десятичное число: индекс ₁₀

Практика

Задание 1

Переведи числа из двоичной системы в десятичную.

Двоичное число	Десятичное значение
0011₂
0101₂
1000₂
1111₂

Задание 2

Переведи числа из десятичной системы в двоичную, используя веса 8₁₀, 4₁₀, 2₁₀, 1₁₀.

Десятичное число	Двоичная запись
6₁₀
9₁₀
12₁₀
14₁₀

Задание 3

У устройства есть три цифровых входа. Запишите все трехбитные комбинации, в которых ровно один вход имеет состояние 1. Рядом укажите значение каждой комбинации в десятичной системе.

Проверьте себя

• Почему запись числа без указания системы счисления может быть неоднозначной?
• Какое десятичное значение имеет 1001₂?
• Как записать 12₁₀ в двоичной системе?
• Почему вес каждого следующего двоичного разряда увеличивается в 2₁₀ раза?
• Сколько комбинаций можно записать четырьмя битами?
• Почему набор битов не всегда является числом?

Ориентиры для самопроверки

Сначала ответьте без подсказки. Ответ можно считать полным, если вы:

• формулируете основную мысль своими словами;
• называете важные условия, ограничения или меры безопасности;
• для схемы, кода или расчёта показываете ход решения и ожидаемый результат.

Если один из пунктов объяснить не получается, найдите соответствующую главу статьи, перечитайте её и повторите ответ.

Словарь статьи

• Система счисления - способ записи чисел с помощью цифр и разрядов.
• Двоичная система - система счисления с цифрами 0 и 1.
• Десятичная система - система счисления с цифрами от 0 до 9.
• Основание системы счисления - количество разных цифр, используемых системой.
• Разряд - позиция цифры в записи числа.
• Вес разряда - значение разряда, определяемое степенью основания системы.
• Бит - один двоичный разряд.
• Байт - группа из восьми бит.
• Двоичный код - последовательность битов, смысл которой определяется правилами использования.

Связанные темы

• Устройство памяти - где хранятся биты и байты.
• Хранение данных в памяти - как один набор битов получает разный смысл.
• Математика в двоичной системе счисления - арифметические и битовые операции.
• Логические элементы - правила обработки логических состояний 0 и 1.

Источники

• Python Documentation. bin(): https://docs.python.org/3/library/functions.html#bin
• Python Documentation. Integer methods: https://docs.python.org/3/library/stdtypes.html#additional-methods-on-integer-types
• Arduino Docs. Bit Math: https://docs.arduino.cc/learn/programming/bit-math/